Cuando un bate golpea una pelota de béisbol, ¿qué determina dónde cae la pelota? ¿cómo describimos el vuelo de un halcón alrededor de un campo abierto? Si lanzamos un globo lleno de agua horizontalmente desde una ventana, ¿tardará el mismo tiempo en llegar al suelo que si sólo lo dejamos caer? No podemos responder a estas preguntas usando las técnicas que vimos en los capítulos anteriores, donde considerábamos que las partículas se movían en línea recta. En vez de ello, necesitamos extender nuestras cantidades cinemáticas a situaciones de dos y tres dimensiones.
Nota: antes de comenzar a estudiar este capítulo te recomiendo que estudies o repases que son y cómo obtener las componentes de un vector.
Posición y velocidad.
Para describir el movimiento de una partícula en el espacio, primero tenemos que describir su posición. Cuando trabajamos anteriormente con movimientos en una dimensión, la posición de la partícula estaba dada por la coordenada en x. En el caso de 3D, la posición de la partícula en un punto P posee 3 coordenadas, x, y y z (en el caso de 2D las coordenadas sólo son x y y). Usando los vectores unitarios podemos representar y escribir el vector de posición tal como se muestra en la siguiente imagen.
Ahora supongamos que durante un intervalo de tiempo Δt la partícula cambió de posición sobre una trayectoria curva hacia un punto P2 (se ha desplazado en el eje x, en el eje y y en el eje z simultáneamente), donde su vector de posición ahora es:
Por lo tanto, el vector desplazamiento de la partícula se escribiría de la siguiente manera:
Si dividimos el vector desplazamiento de la partícula entre el intervalo de tiempo Δt, obtenemos el vector de la velocidad media:
Dividir un vector entre un escalar es realmente un caso especial de multiplicar un vector por un escalar. En realidad en el paso anterior multiplicamos el vector desplazamiento por el recíproco del tiempo 1/Δt. Todo lo anterior se representa de manera gráfica en la siguiente imagen:
Si en la velocidad media hacemos que Δt tienda a cero, P2 se recorre por la trayectoria para acercarse a P1 hasta que el vector desplazamiento se hace tangente a la trayectoria, y tiene la misma dirección y sentido que la velocidad instantánea. Esto conduce a una conclusión importante: en cualquier punto de la trayectoria, el vector de velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en ese punto. Lo anterior se ilustra en la siguiente imagen.
El vector de la velocidad instantánea se define de la siguiente manera:
Básicamente el movimiento en dos o tres dimensiones es una extensión de lo que era el movimiento en una dimensión. Si eres observador habrás notado que en las deducción anteriores las componentes en el eje x corresponden a formulas anteriormente vistas. Por lo tanto podemos concluir diciendo que el movimiento en tres dimensiones es realmente la combinación de tres movimientos; el primero en el eje x, el segundo en el eje y, y el tercero en el eje z.
El vector aceleración.
Consideremos ahora la aceleración de una partícula que se mueve en el espacio. Al igual que en el movimiento rectilíneo, la aceleración en el espacio 2D y 3D describe un cambio en la velocidad; ya sea que éste sea en magnitud o dirección. Lo que intentare demostrar a continuación, es hacerle ver que el vector de aceleración en una trayectoria curva no tiene la misma dirección que el vector de la velocidad. La demostración se hará en un espacio 2D, pero usted puede hacer la generalización a 3D.
En la siguiente imagen, un automóvil (tratado como partícula) se mueve en una trayectoria curva durante un intervalo de tiempo Δt.
Las dos flechas verdes son los vectores de velocidad instantánea correspondientes a los puntos P1 y P2 respectivamente. Ambos vectores pueden diferir en magnitud y dirección.
Durante el intervalo de tiempo Δt el cambio vectorial de la velocidad se puede obtener fácilmente, tal como se muestra en la siguiente imagen:
Consecuentemente, podemos obtener el vector de aceleración media si dividimos el cambio de la velocidad entre el intervalo de tiempo.
Si en la aceleración media hacemos que Δt→ 0, entonces P2 se aproxima a P1, y obtendríamos el vector de la aceleración instantánea. Lo anterior podemos observarlo en la siguiente imagen:
De todo lo explicado anteriormente podemos concluir lo siguiente: si una partícula sigue una trayectoria curva, su aceleración siempre es distinta de cero, aun si se mueve con rapidez constante. Quizá le parezca que esta conclusión es contraria a su intuición, pero más bien va contra el uso cotidiano de la palabra “aceleración” para implicar que la velocidad aumenta.
Componentes perpendicular y paralela de la aceleración.
Como hemos visto anteriormente, el vector aceleración de una partícula puede describir cambios en la rapidez de ésta, en la dirección de su movimiento o en ambas. Resulta útil destacar que la componente de la aceleración paralela a la trayectoria de la partícula (esto es, paralela a la velocidad) nos indica acerca de los cambios en la rapidez de la partícula; en tanto que la componente de la aceleración perpendicular a la trayectoria (y por lo tanto, perpendicular a la velocidad) nos indica los cambios en la dirección del movimiento de la partícula.
En general, el vector de aceleración de una partícula en una trayectoria curva puede estudiarse en tres situaciones distintas; cuando la rapidez de la partícula es constante, cuando crece y cuando decrece.
Para aclarar un poco todas las ideas anteriormente vistas, mira el siguiente video en el que se resuelve un problema que tiene que ver con el movimiento en tres dimensiones.
Movimiento de proyectiles.
Muchos movimientos importantes se dan sólo en dos dimensiones, y pueden describirse con dos componentes de posición, velocidad y aceleración. Un ejemplo es el movimiento de los proyectiles. Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional. Una pelota bateada, un balón lanzado, un paquete soltado desde un avión y una bala disparada de un rifle son todos proyectiles.
Todos los proyectiles tienen una trayectoria de naturaleza parabólica o semiparabólica, solo si se desprecia el rozamiento del aire. En los casos reales, el rozamiento del aire se puede considerar despreciable solo para cuerpos que se mueven lentamente y son de densidad elevada, como piedras grandes, trozos de metal o esferas sólidas. Los proyectiles a gran velocidad, son frenados continuamente por el aire y ello los hace caer más pronto apartando su trayectoria de la parábola.
Es fácil describir el movimiento que describen los proyectiles con las cantidades cinemáticas. El siguiente video explica con detalle como hacerlo.
En el siguiente vídeo veremos la simulación de un tiro parabólico, esto con la intención de ver como varía la distancia horizontal recorrida según cambie el ángulo de disparo.
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Movimiento circular uniforme.
Cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, tiene un movimiento circular uniforme (MCU). Un automóvil que da vuelta a una curva de radio constante con rapidez constante, un satélite en órbita circular y un patinador que describe un círculo con rapidez constante son ejemplos de este movimiento. Nuestro siguiente trabajo consiste en aprender sólo a describir matemáticamente el MCU.
En el MCU no hay componente de aceleración paralela (tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidez cambiaría. El vector de aceleración es sólo perpendicular a la trayectoria y, por lo tanto, se dirige hacia adentro (¡nunca hacia fuera!) al centro de la trayectoria circular. Esto causa el cambio en la dirección de la velocidad, sin cambiar la rapidez.
Puesto que la aceleración siempre apunta al centro del círculo, en ocasiones se le llama aceleración centrípeta. La palabra “centrípeta” significa “que busca el centro” en griego. Otros conceptos importantes que nos permitirán describir el MCU son los siguientes:
Revolución: una revolución es simplemente una vuelta completa.
Periodo: es el tiempo que requiere la partícula para dar una revolución, se denota por T.
Frecuencia: en el MCU la frecuencia es el numero de revoluciones que se dan sobre unidad de tiempo. Sus unidades son los rph (revoluciones por hora), rpm (revoluciones por minuto) y rps (revoluciones por segundo). Por ejemplo, una frecuencia de 7 rps nos dice que la partícula da 7 revoluciones cada segundo. Una frecuencia de 2 rph nos dice que la partícula hace 2 revoluciones cada hora, etc. También existe en el SI las unidades de frecuencia Hertz (Hz), que equivalen a la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo. Por lo tanto, las unidades Hz y rps en el MCU son equivalentes.
Relación entre frecuencia y periodo: la frecuencia es el inverso del periodo y viceversa.
Velocidad lineal o tangencial: podemos obtener la magnitud de la velocidad lineal de la partícula dividiendo la longitud de la circunferencia entre el periodo (recuerda que la velocidad lineal es un vector tangente a la trayectoria).
Aceleración centripeta o radial: la aceleración de la partícula en el MCU se puede obtener con las siguientes igualdades (recuerda que ésta siempre está dirigida hacia el centro):
Más adelante cuando estudiemos la cinemática rotacional profundizaremos el estudio de la cinemática del movimiento circular. Hasta ahora solo veremos conceptos básicos que nos permitan describir fácilmente el MCU, pero debes saber que en el futuro ahondáremos en este tema.
Problemas.
1. Un balón de básquetbol se lanza a una altura de 2.4 m con una rapidez inicial vo = 12 m/s dirigida a un ángulo θ = 35° sobre la horizontal. a) ¿A qué distancia de la canasta estaba el jugador si logró anotar?
2. Un balón de fútbol se patea al nivel del suelo y sale con una rapidez de 18.0 m/s formando un ángulo de 38.0° con respecto a la horizontal. ¿Cuánto tiempo tarda el balón en regresar al suelo?
3. Usted compra una pistola de dardos de plástico y decide hacer un cálculo rápido para encontrar su alcance horizontal máximo. Dispara la pistola en línea recta hacia arriba y el dardo tarda 4.0 s en regresar al cañón. ¿Cuál es el alcance horizontal máximo de la pistola?
Nota: el alcance máximo de un proyectil disparado horizontalmente es el doble que la altura máxima alcanzada cuando se dispara verticalmente, siempre y cuando la velocidad inicial del proyectil sea la misma.
4. El piloto de un avión que viaja horizontalmente a 170 km/h quiere lanzar suministros a las víctimas de una inundación, que están aisladas en una porción de terreno situada a 150 m abajo. ¿Cuántos segundos antes de que el avión esté directamente sobre las víctimas deben dejarse caer los suministros?
Respuestas.
1. 13 m
2. 2.6 s (redondeando en todas las operaciones a un decimal).
3. El alcance máximo horizontal es de 39 m
4. 5.5 s
