Existe otra forma muy útil de ver el trabajo y la energía cinética. Este nuevo enfoque se basa en el concepto de las fuerzas conservativas. Al concluir con esta lección, y gracias a este nuevo enfoque del que hablo, podrás resolver problemas que tangan que ver con los conceptos de trabajo y potencia con mayor facilidad. De hecho en general, podrás resolver los problemas de cinemática y dinámica con mayor facilidad.
Las fuerzas conservativas.
Las fuerzas conservativas.
Las fuerzas conservativas son aquellas que cuando actúan sobre una trayectoria cerrada su trabajo es igual a cero. Una trayectoria cerrada es cuando el punto inicial y final del recorrido coinciden (sin importar la forma que tenga la trayectoria).
Por ejemplo, en una pelota lanzada verticalmente hacia arriba la única fuerza que actúa es la del peso (contemplando que no hay aire). Al caer, la pelota regresa al mismo punto en el que fue lanzada, por lo tanto la trayectoria es cerrada. Si calculamos el trabajo hecho por el peso en el movimiento de subida, y lo sumamos con el trabajo hecho en el movimiento de bajada, el resultado será cero. Por lo tanto, decimos que el peso es una fuerza conservativa. Otro ejemplo es el de una caja que se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción que choca contra un amortiguador de resorte comprimiéndolo. Cuando el resorte se comprime y luego se descomprime, la fuerza de éste tiene una trayectoria cerrada. Si sumamos el trabajo que hace la fuerza del resorte cuando éste se comprime con el trabajo que hace la fuerza del resorte para descomprimirse, el resultado será igual a cero.
De las 5 fuerzas que normalmente se trabajan en dinámica, simplemente dos de ellas son conservativas; el peso y la fuerza que ejerce un resorte. La fricción, tensión y normal diremos que no son conservativas. Existen aún otras fuerzas conservativas en la naturaleza, pero por el momento sólo trabajaremos con las dos anteriormente mencionadas.
Las fuerzas conservativas y la energía potencial.
Todas las fuerzas conservativas poseen una propiedad muy importante, esa propiedad es la capacidad de tener energía potencial. Este tipo de energía es una medida del potencial o posibilidad de efectuar trabajo. Al levantar una roca, existe la posibilidad de que la fuerza del peso realice trabajo sobre ella, pero sólo si la roca se deja caer al suelo. Lo dicho sugiere que hay energía potencial asociada al peso de un cuerpo y a su altura sobre el suelo, a la cual se le llama energía potencial gravitacional, que se denota por Ugrav. Para calcular ésta energía, simplemente multiplicamos el peso de la partícula por la altura a la que se encuentra (para nosotros la altura será la coordenada en y): Ugrav = mgy.
Por ejemplo, consideremos un libro de masa m = 1.2 kg que está en una repisa a 1.5 m de altura sobre el suelo (ósea y = 1.5), ¿cual es la energía potencial que tiene el libro con respecto al suelo? La respuesta es sencilla, (1.2)(9.8)(1.5) = 17.6 J.
Como podrás notar, la energía potencial posee unidades Joules, pero, ¿por qué? La respuesta es muy interesante, y es que el trabajo requerido para mover al libro del suelo a la repisa con velocidad constante es -17.6 J, exactamente el mismo trabajo pero con signo positivo es el que realiza el peso sobre el libro cuando éste cae de la repisa al suelo. Por lo tanto, podemos decir que cuando el libro está en la repisa, la fuerza del peso al ser conservativa, tiene el potencial de realizar un trabajo un sobre él de 17.6 J (solo en el caso de que el libro caiga).
La fuerza que ejerce un resorte también es conservativa, por lo tanto, tiene esa propiedad llamada energía potencial. Describiremos el proceso de almacenar energía en un cuerpo deformable, como un resorte o liga, en términos de energía potencial elástica. Ésta última se define de la siguiente manera: Uel = (1/2)kx².
Por ejemplo, si tenemos un resorte al cual comprimimos 0.2 m, y tiene un coeficiente de rigidez k = 1.2 N/m, ¿cual es la energía potencial del resorte? Por sustitución directa obtenemos que (1/2)(1.2)(0.2)² = 0.024 J. De manera análoga a la energía potencial gravitacional, el trabajo que hace la fuerza del resorte cuando se comprime con velocidad constante una longitud de 0.2 m, es -0.024 J. Si el resorte se suelta, ¿cuál será el trabajo realizado por éste? Pues 0.024 J.
Entonces podemos concluir diciendo que un objeto tiene energía potencial si, debido a su posición o estado, es capaz de efectuar un trabajo.
Teorema del trabajo y energía con energía potencial.
Algo de suma importancia, es que el teorema del trabajo y energía también aplica para la energía potencial, solo que en este caso se agrega un signo negativo. El trabajo hecho por una fuerza conservativa puede expresarse como la diferencia negativa entre los valores inicial y final de una energía potencial, WFC = -ΔU. Lo anterior es importantísimo, así que no lo olvides.
Sistemas conservativos.
Ligado a las fuerzas conservativas esta otro concepto, que es el de sistema conservativo. Un sistema conservativo es aquel en el que la suma de los trabajos hechos por fuerzas no conservativas es igual a cero, o simplemente no existen fuerzas no conservativas. Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba es un claro ejemplo de sistema conservativo. En él, no actúan fuerzas no conservativas, simplemente es el peso.
Ley de la conservación de la energía.
Cuando un sistema es conservativo, la energía potencial tiene la capacidad de transformarse por completo en energía cinética. Esta transformación puede entenderse por medio de la ley de la conservación de la energía. Aunque esta ley se ha establecido casi en tantas formas diferentes como textos se han escrito sobre el tema, todas ellas tienen en realidad el mismo significado. Los tres ejemplos siguientes son expresiones típicas de esta ley.
1) siempre se conserva la energía al transformarse de una forma a otra.
2) la energía no se puede crear ni destruir.
3) la suma total de toda la energía en el universo se mantiene constante.
En todos los tipos de energía la ley de la conservación de la energía se cumple.
La energía mecánica.
Debido a que nosotros por ahora estamos estudiando mecánica, simplemente nos concentraremos en el estudio de un tipo de energía llamada energía mecánica. La energía mecánica de un sistema, se define como la suma de la energía cinética y potencial del sistema, E = K + U.
Para aclarar la idea de energía mecánica considera los siguiente.
Cuando un clavadista se tira de un trampolín a la alberca, golpea el agua rápidamente, con mucha energía cinética. ¿De dónde proviene esa energía?
Podemos responder a la pregunta anterior de dos formas. La primera de ellas seria usar la ley de la conservación de la energía: hay energía potencial gravitacional cuando el clavadista está parado en el trampolín, pero no hay energía cinética. Conforme el clavadista cae, la energía potencial disminuye mientras la energía cinética aumenta, esto se debe a que la energía se transforma de una forma (energía potencial) a otra (energía cinética). Justo a la mitad de la trayectoria del clavadista, la energía potencial tiene la misma magnitud que la energía cinética, y cabal antes de que el clavadista entra al agua, la energía potencial es casi cero, y la energía cinética tiene casi su máximo valor.
Otra respuesta correcta podría ser usando el teorema del trabajo y energía: la fuerza gravitacional (su peso) realiza trabajo sobre el clavadista al caer. La energía cinética del clavadista aumenta en una cantidad igual al trabajo realizado.
Teorema del trabajo y energía con energía mecánica.
El teorema del trabajo y energía usando el concepto de energía mecánica básicamente nos dice lo siguiente: la suma de todos los trabajos hechos por fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energía cinética, ΣWFNC = ΔE.
Si el sistema es conservativo, implica que la sumatoria de los trabajos hechos por las fuerzas no conservativas es cero, o en su defecto, no actúan fuerzas no conservativas en el sistema. Si éste es el caso, 0 = ΔE por lo tanto Ei = Ef.
La relación anterior es muy importante, ya que nos dice que la energía mecánica del sistema en el inicio es la misma que al final. De hecho en general, la energía mecánica en un sistema conservativo se mantiene constante en cualquier instante, y eso es muy importante.
Vídeos.
Los conceptos de energía y trabajo nos ayudarán a resolver algunos problemas de cinemática y dinámica con mayor facilidad. El movimiento en un circulo vertical es un claro ejemplo en el cual es conveniente usar el concepto de energía.
En la siguiente serie de vídeos veremos la resolución de problemas utilizando el concepto de energía y trabajo. Te darás cuenta que tratar de resolverlos usando los métodos que aprendiste en dinámica y cinemática es una tarea mas complicada.
Antes de seguir con los demás vídeos, voy a mencionar un par de ideas importantes que nos sugiere el video anterior. La primera de ellas es con respecto al movimiento en el que interfiere únicamente la fuerza del peso: aun si la trayectoria de un cuerpo entre dos puntos es curva (como un movimiento parabólico) el trabajo total efectuado por la gravedad depende sólo de la diferencia de altura entre los puntos final e inicial de la trayectoria. Por lo tanto, podemos usar la misma expresión para la energía potencial gravitacional, sea la trayectoria del cuerpo recta o curva.
La otra idea tiene que ver con el movimiento del péndulo simple: cuando el péndulo esta en movimiento, en los extremos de su oscilación (en los puntos más altos de su trayectoria), la partícula queda momentáneamente en reposo, y la energía mecánica del sistema simplemente es energía potencial gravitacional. En la parte más baja de la oscilación, la energía mecánica del sistema es toda ella energía cinética. El trabajo hecho por la tensión siempre será cero, aun cuando la partícula se mueva en un circulo vertical.
El número de oscilaciones que da un péndulo en un tiempo determinado, es independiente del peso que tenga su extremo.
Problemas.
1. Imagine que, en un parque de diversiones, usted está probando una nueva montaña rusa con un carrito vacío de120 kg de masa. Una parte de la vía es un rizo vertical con radio de 12 m. En la parte baja del rizo (punto A), el carrito tiene una rapidez de 25 m/s; y en la parte superior (punto B), de 8 m/s. ¿Cuanto trabajo efectúa la fricción cuando el carrito rueda del punto A al B?
2. Un resorte de masa despreciable tiene una constante de fuerza k = 1600 N/m. a) ¿Qué tanto debe comprimirse para almacenar en él 3.20 J de energía potencial? El resorte se coloca verticalmente con un extremo en el piso, y se deja caer sobre él un libro de 1.20 kg desde una altura de 0.80 m. Determina la distancia máxima que se comprimirá el resorte.
3. Imagine que le piden diseñar un resorte que confiera a un satélite de 1160 kg una rapidez de 2.5 m/s relativa a un transbordador espacial en órbita. El resorte debe imprimir al satélite una aceleración máxima de 5.00g (donde g = 9.8 m/s²). La masa del resorte, la energía cinética de retroceso del transbordador y los cambios de la energía potencial gravitacional serán despreciables. a) ¿Que constante de rigidez debe tener el resorte? b) ¿Que distancia debe comprimirse el resorte?
Respuestas.
1. -5400 J
2. a) 0.0632 m b) 0.12 m
3.
